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TRAITÉ
de
PHYSIQUE DE LA MUSIQUE


1. Les signaux périodiques

Un signal périodique quelconque se décompose en une somme infinie de ses harmoniques entiers 1, 2, 3, 4,... appelée série harmonique du célèbre mathématicien français Joseph Fourier (Auxerre 1768 - Paris 1830). Le premier harmonique est dit " harmonique fondamental ". La série harmonique d'un signal de fréquence w est :  

 ...

y(t) : Valeur du signal à l'instant t.
w : Fréquence du signal (fréquence de l'harmonique fondamental).
a1 : Amplitude du premier harmonique.
a1 : Phase du premier harmonique.
an : Amplitude du n-ième harmonique.
an : Phase du n-ième harmonique.

Si le signal ne dure qu'un temps T, alors il n'est plus périodique. La série de Fourier peut se construire à partir de tout signal continu défini sur une durée de temps T, mais en prenant comme fréquence de l'harmonique fondamental W = 1/T. C'est à dire une fréquence égale à l'inverse de la durée du signal et qui n'a plus rien à voir avec la fréquence de l'harmonique fondamentale de notre signal périodique permanent initial. Si T est suffisamment grand, W devient très petit, et notre signal initial sera transcrit dans cette série de Fourier comme un harmonique élevé de W. Il apparaît dés lors une incertitude sur la fréquence de ce signal w valant ± W/2 ou ± 1/(2*T).

Le théorème de l'échantillonnage du à C.E.Shannon, ingénieur américain (1916-2001) dit :
Un signal qui ne contient pas de composantes de fréquences supérieures ou égales à une valeur fmax est entièrement déterminé par la suite de ses valeurs à des instants régulièrements espacés de la durée 1/(2*fmax).

Autrement dit, un signal ne contenant pas de fréquence supérieure à fmax peut être échantillonné à la fréquence 2*fmax sans qu'il n'y est aucune perte d'information.

L'oreille ne perçoit pas les sons de fréquences supérieurs à 20.000 Hz. Nous pouvons donc échantillonner les signaux sonores à 44.100 Hz (un standard communément rencontré). Et utiliser les outils discrets, convolution, transformation de Fourrier, transformation en Z…, décrits dans l'excellent ouvrage de M. Bellanger.

M. Bellanger "Traitement numérique du signal", 7ème édition, Dunod, 2002
P.Destuynder & F.Santi "Analyse et contrôle numérique du signal", Ellipses, 2003


2. Lois physiologiques

2.1. Domaine des fréquences et amplitudes audibles


2.2. Le décibel
Le décibel est une échelle logarithmique du signal : Une augmentation de près de 6 db correspond à une multiplication par 2 du signal (et correspond à une multiplication par 4 de la puissance, la puissance étant proportionnelle au carré du signal).

Le décibel peut être défini de façon absolu par une pression acoustique exprimée en Pascal qui s'exerce sur le tympan, la figure vous en donne un ordre d'idée. Mais, c'est la définition des variations de décibel qui est utilisée :

           
Pe : Puissance d'entrée.
Ps : Puissance de sortie.
Ue : Signale d'entrée.
Us : Signale de sortie.
dB : Variation en décibel.

Le décibel, selon son auteur Alexander Graham Bell, traduit la sensation physiologique du volume sonore : Une augmentation de 10 dB (soit d'un Bel) correspond à un doublement de la sensation sonore. Et une diminution de 10 dB correspond à une division par deux de la sensation sonore.

Pour doubler la sensation sonore, c'est à dire augmenter d'un bel, il faut multiplier par 10 la puissance sonore, ou ce qui revient au même, multiplier par 3,2 le signal sonore.

" En pratique, cela signifie que si un chef d'orchestre veut doubler la sensation sonore, il devra multiplier le nombre de musiciens par 10 " Fred Borzeix


2.3. Loi physiologique fondamentale sur la perception des rapports de fréquence et de l'absence de fréquence absolue.
L'expérience montre que l'impression ressentie à l'audition d'un accord de deux sons ne dépend que du rapport des fréquences de ces deux sons. Par exemple en augmentant la vitesse d'écoulement du temps, les deux sons deviennent plus aiguës, les fréquences des deux sons augmentent proportionnellement, et leur rapport reste constant. Cet accord conserve à l'audition une qualité invariable quel que soit l'accroissement proportionnel des deux fréquences. La nature musicale d'un accord n'est pas changée lorsque on multiplie toutes les fréquences présentes par une même constante quelconque. Autrement dit, la nature musicale d'un accord est invariante par translation dans une échelle logarithmique des fréquences. Une tel translation est appelée transposition. L'oreille est capable de discerner une fréquence absolue mais selon d'autres règles que ceux de l'harmonie musicale. Il n'y a pas de fréquence absolue identifiée par les règles d'harmonie que nous cherchons à découvrir.
" La nature a fait que nous avons une perception logarithmique des fréquences acoustiques c'est-à-dire que nous sommes sensibles au rapport des fréquences entre deux sons et non à leur différence. " Gilles Bannay

H.Bouasse "Bases physiques de la Musique", Gauthier-Villars, 1906 [§5]

2.4. Le timbre et la non perception des phases.
Le timbre d'un son est déterminé par l'amplitude de ses harmoniques, et non par leurs phases. En effet, l'oreille qui est composée de multiples organes résonateurs ne perçoit pas la phase d'un signal sonore (d'après Helmholtz). Elle perçoit bien la phase d'un rythme mais non d'un son. Aussi les règles d'harmonie des rythmes sont de nature différente des règles d'harmonie des sons. La différence entre un rythme et un son, tient dans la présence d'harmoniques puissants et aiguës pour le rythme. De même Lorsque le son est de très basse fréquence, ses qualités musicales deviennent indiscernables de celles des fréquences voisines, sauf pour le cas des instruments qui engendrent de nombreux harmoniques.

2.5 Les harmoniques virtuels.
L'oreille est composé d'organes résonateurs avec un trés fort ammortissement, qui nous permet de distinguer une répétition trés rapide d'un même son. Donc l'oreille est composé d'organes résonateurs non linéaires : Lorsque deux sons purs de fréquences p et q excitent l'oreille, celle-ci engendre tous les harmoniques (d'après Helmholtz) :
Les harmoniques 1 de fréquences : p, q
Les harmoniques 2 de fréquences : 2p, 2q, p+q, p-q
Les harmoniques 3 de fréquences : 3p, 3q, 2p+q, 2q+p, 2p-q, 2q-p
….
Ces harmoniques sont dit virtuels puisque non nécessairement présent dans le son. Lorsque la source est linéaire, c'est à dire que chacun de ses composants se comporte comme un résonateur pur, aucun harmonique combiné n'est créé. Il existe des modulations d'amplitude, appelées battements (de fréquence égale à la différence des fréquences de deux sons). Les battement ne sont pas des harmoniques et n'apparaissent pas dans le spectre des fréquences. Néanmoins si la source ne crée pas les harmoniques correspondants aux battements, l'oreille les crée. Cette perception des battements est de nature différente de la perception des rapports de fréquence. Elle est d'un ordre inférieur, et semble contredire le point §2.3. Or si nous multiplions les deux fréquences par une constante k quelconque, les harmoniques virtuels qui sont créés sont également multipliés par k. La sensation musicale basée sur les rapports croisés des fréquences et de leurs harmoniques est invariante par transposition puisque ces rapports restent constants par transposition.


3. Loi des cordes vibrantes

La fréquence de résonance d'une corde est donnée par la formule suivante :

    
w : Fréquence de résonance de la corde en Hertz
g : Accélération de pesanteur en m/s
P : Poids tenseur en Kg
p : Poids de la corde par mètre en Kg/m
l : Longueur de la corde en mètres

H.Bouasse Bases physiques de la Musique, Gauthier-Villars, 1906 [§4]

 

4. Déplacement Doppler

Ce déplacement en fréquence aussi appelé, effet Doppler, porte le nom de son inventeur, le physicien autrichien Johann Christian Doppler (Salzbourg, 1803 - Venise, 1853).

Si la source du son se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de l'auditeur fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :


w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de la source sonore vers l'auditeur fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)

Si c'est l'auditeur qui se déplace en se rapprochant ou en s'éloignant de la source fixe, avec une vitesse V, celui-ci perçoit le son avec une fréquence respectivement plus haute ou plus basse. La fréquence perçue est :


w' : Fréquence du son réceptionné par l'auditeur.
w : Fréquence du son émit par la source.
V : Vitesse de rapprochement de l'auditeur vers la source sonore fixe.
c : Vitesse du son (dans l'air = 340 m/s, dans l'eau = 4 m/s)


Si la vitesse de la source sonore est petite par rapport à la vitesse du son. La première formule devient approximativement identique à la seconde formule, qui devient alors valable pour une vitesse V de rapprochement relatif entre la source et l'auditeur. Dans tous les cas, le déplacement Doppler multiplie toutes les fréquences des sons émis par la source, par une même constantes approximativement égale à (1+V/c). Les qualités des accords entres sons ne seront donc pas affectée.

Berkeley mécanique " cours de physique volume 1" [§10]


5. Les intervalles

Les sons peuvent être définis les uns par rapport aux autres selon leurs rapports de fréquences, et ce rapport de fréquence est appelé intervalle. L'intervalle peut être désigné de trois façons possibles :

  • Soit par son facteur multiplicatif k qui est le rapport des fréquences.
  • Soit par son vecteur de décomposition [x,y,z,…] si le facteur multiplicatif est de la forme k=.….avec x,y,z entier relatif.
  • Soit par son terme additif exprimé souvent en savarts ou en 53 ième d'octave, qui est une différence des logarithmes des fréquences.

Si l'on fixe un son de référence tel que le La2 à 220Hz par exemple. Chaque son peut alors être défini par un facteur multiplicatif de cette fréquence, par l'intervalle entre le La2 et lui-même.

Les intervalles entre sons ont fait l'objet de nombreuses études depuis l'antiquité. Et nous nous référons à la liste des appellations consultables sur le site

Liste française des noms d'intervalles : (Kami Rousseau et Manuel Op de Coul.)

Intervalle

Nom de l'intervalle

Savarts
53ième
Décomposition
1

unisson

0,000
0,000
1
23232 / 23231

petit harmonisma

0,019
0,003
2^6*3*11^2 / 13 / 1787
19657 / 19656

grand harmonisma

0,022
0,004
11*1787 / 2^3 / 3^3 / 7 / 13
10648 / 10647

harmonisma

0,041
0,007
2^3*11^3 / 3^2 / 7 / 13^2
450359962737049600 / 450283905890997363

monzisma

0,073
0,013
2^54*5^2 / 3^37
4375 / 4374

ragisma

0,099
0,017
5^4*7 / 2 / 3^7
4096 / 4095

schisma tridecimal

0,106
0,019
2^12 / 3^2 / 5 / 7 / 13
2401 / 2400

Breedsma

0,181
0,032
7^4 / 2^5 / 3 / 5^2
1732 / 1731

approximation de 1 cent

0,251
0,044
2^2*433 / 3 / 577
1288 / 1287

triaphonisma

0,337
0,059
2^3*7*23 / 3^2 / 11 / 13
32805 / 32768

schisma

0,490
0,086
3^8*5 / 2^15
750 / 749

tempérament Chinoise

0,579
0,102
2*3*5^3 / 7 / 107
19073486328125 / 19042491875328

comma du 19 tons

0,706
0,124
5^19 / 2^14 / 3^19
513 / 512

comma undevicesimal

0,847
0,149
3^3*19 / 2^9
19383245667680019896796723 / 19342813113834066795298816

comma de Mercator

0,907
0,160
3^53 / 2^84
33554432 / 33480783

Bêta 2 schisma septimal

0,954
0,168
2^25 / 3^14 / 7
385 / 384

kleisma de Keenan

1,130
0,199
5*7*11 / 2^7 / 3
5120 / 5103

Bêta 5

1,444
0,254
2^10*5 / 3^6 / 7
256 / 255

kleisma septendecimal

1,700
0,299
2^8 / 3 / 5 / 17
16875 / 16807

petit BP-dièze

1,754
0,309
3^3*5^4 / 7^5
243 / 242

comma de tierce neutre

1,791
0,315
3^5 / 2 / 11^2
225 / 224

kleisma septimal

1,934
0,341
3^2*5^2 / 2^5 / 7
15625 / 15552

kleisma, semicomma majeur

2,034
0,358
5^6 / 2^6 / 3^5
1029 / 1024

gamelan residu

2,115
0,372
3*7^3 / 2^10
2187 / 2176

comma septendecimal

2,190
0,386
3^7 / 2^7 / 17
896 / 891

semicomma undecimal

2,430
0,428
2^7*7 / 3^4 / 11
2109375 / 2097152

semicomma, comma de Fokker

2,524
0,444
3^3*5^7 / 2^21
393216 / 390625

comma de Würschmidt

2,871
0,506
2^17*3 / 5^8
145 / 144

chroma du 29ème partiel

3,006
0,529
5*29 / 2^4 / 3^2
1728 / 1715

comma Orwell

3,280
0,577
2^6*3^3 / 5 / 7^3
126 / 125

comma septimale petite

3,461
0,609
2*3^2*7 / 5^3
245 / 243

BP-dièze mineur

3,560
0,627
5*7^2 / 3^5
100 / 99

comma de Ptolémée

4,365
0,768
2^2*5^2 / 3^2 / 11
99 / 98

comma undecimale petite

4,409
0,776
3^2*11 / 2 / 7^2
96 / 95

chroma du 19ème partiel

4,548
0,801
2^5*3 / 5 / 19
2048 / 2025

diaschisma, comma mineur

4,905
0,864
2^11 / 3^4 / 5^2
36893488147419103232 / 36472996377170786403

comma du 41 tons

4,978
0,876
2^65 / 3^41
3125 / 3087

BP-dièze majeur

5,313
0,935
5^5 / 3^2 / 7^3
81 / 80

comma syntonique

5,395
0,950
3^4 / 2^4 / 5
531441 / 524288

comma de Pythagore

5,885
1,036
3^12 / 2^19
65 / 64

chroma du 13ème partiel

6,733
1,185
5*13 / 2^6
64 / 63

comma septimal

6,839
1,204
2^6 / 3^2 / 7
20000 / 19683

dièze minime

6,939
1,222
2^5*5^4 / 3^9
3125 / 3072

petit dièze

7,429
1,308
5^5 / 2^10 / 3
34171875 / 33554432

comma de Ampersand

7,919
1,394
3^7*5^6 / 2^25
51 / 50

chroma du 17eme partiel

8,600
1,514
3*17 / 2 / 5^2
50 / 49

comma decaton de Erlich, triton dièze

8,774
1,545
2*5^2 / 7^2
15625 / 15309

grand BP-dièze

8,873
1,562
5^6 / 3^7 / 7
49 / 48

sixième de ton, dièze slendro

8,955
1,577
7^2 / 2^4 / 3
46 / 45

chroma du 23ème partiel

9,545
1,681
2*23 / 3^2 / 5
45 / 44

cinquième de ton

9,760
1,718
3^2*5 / 2^2 / 11
128 / 125

dièze mineur, dièze enharmonique

10,300
1,813
2^7 / 5^3
6561 / 6400

superdièze de Mathieu

10,790
1,900
3^8 / 2^8 / 5^2
525 / 512

dièze enharmonique de Avicenne

10,889
1,917
3*5^2*7 / 2^9
40 / 39

dièze tridecimal

10,995
1,936
2^3*5 / 3 / 13
36 / 35

quart de ton, dièze septimal

12,234
2,154
2^2*3^2 / 5 / 7
250 / 243

dièze maximal

12,334
2,172
2*5^3 / 3^5
246 / 239

quart de ton de Meshaqah

12,537
2,207
2*3*41 / 239
59049 / 57344

comma de Harrison

12,725
2,240
3^10 / 2^13 / 7
33 / 32

comma undecimal, 33ème harmonique

13,364
2,353
3*11 / 2^5
32 / 31

quart de ton enharmonique grec

13,788
2,428
2^5 / 31
31 / 30

chroma du 31ème partiel

14,240
2,507
31 / 2 / 3 / 5
729 / 704

dièze undecimal

15,155
2,668
3^6 / 2^6 / 11
648 / 625

dièze majeur

15,695
2,763
2^3*3^4 / 5^4
28 / 27

tier de ton

15,794
2,781
2^2*7 / 3^3
27 / 26

comma tridecimal

16,390
2,886
3^3 / 2 / 13
134217728 / 129140163

tierce double diminuée de Pythagore

16,749
2,949
2^27 / 3^17
25 / 24

semiton mineur, chroma mineur

17,729
3,121
5^2 / 2^3 / 3
21 / 20

semiton mineur

21,189
3,731
3*7 / 2^2 / 5
256 / 243

limma, seconde mineure de Pythagore

22,634
3,985
2^8 / 3^5
135 / 128

limma majeur, chroma majeur

23,124
4,071
3^3*5 / 2^7
19 / 18

semiton undevicesimal

23,481
4,134
19 / 2 / 3^2
413343 / 390625

BP petit lien

24,551
4,322
3^10*7 / 5^8
18 / 17

index du luth arabe

24,824
4,370
2*3^2 / 17
89 / 84

approximation du semiton temperé

25,111
4,421
89 / 2^2 / 3 / 7
17 / 16

17ème harmonique

26,329
4,636
17 / 2^4
16 / 15

semiton majeur

28,029
4,935
2^4 / 3 / 5
83349 / 78125

BP lien mineur

28,110
4,949
3^5*7^3 / 5^7
2187 / 2048

apotome

28,519
5,021
3^7 / 2^11
6561 / 6125

BP lien majeur

29,864
5,258
3^8 / 5^3 / 7^2
15 / 14

semiton diatonique septimal

29,963
5,275
3*5 / 2 / 7
14 / 13

2 tiers de ton

32,185
5,667
2*7 / 13
27 / 25

semiton maxime, BP semiton petit

33,424
5,885
3^3 / 5^2
13 / 12

2 tiers de ton tridecimal

34,762
6,120
13 / 2^2 / 3
88 / 81

2eme seconde neutre undecimal

35,998
6,338
2^3*11 / 3^4
162 / 149

seconde neutre persane

36,329
6,396
2*3^4 / 149
4608 / 4235

seconde neutre arabe

36,659
6,454
2^9*3^2 / 5 / 7 / 11^2
49 / 45

BP semiton mineur

36,984
6,511
7^2 / 3^2 / 5
241 / 221

3 quarts de ton de Meshaqah

37,625
6,624
241 / 13 / 17
12 / 11

3 quarts de ton, seconde neutre undecimale

37,789
6,653
2^2*3 / 11
2048 / 1875

tierce double diminuée

38,329
6,748
2^11 / 3 / 5^4
375 / 343

BP semiton majeur

38,737
6,820
3*5^3 / 7^3
35 / 32

seconde neutre septimale

38,918
6,852
5*7 / 2^5
800 / 729

ton moindre

40,362
7,106
2^5*5^2 / 3^6
1125 / 1024

unisson double augmenté

40,853
7,193
3^2*5^3 / 2^10
11 / 10

4 cinquièmes de ton, seconde de Ptolémée

41,393
7,288
11 / 2 / 5
54 / 49

seconde mineure de Zalzal

42,198
7,429
2*3^3 / 7^2
625 / 567

BP grand semiton

42,297
7,447
5^4 / 3^4 / 7
32 / 29

29ème subharmonique

42,752
7,527
2^5 / 29
65536 / 59049

tierce diminuée de Pythagore

45,267
7,970
2^16 / 3^10
10 / 9

ton mineur

45,757
8,056
2*5 / 3^2
125 / 112

semiton augmenté classique

47,692
8,397
5^3 / 2^4 / 7
19 / 17

quasi mesoton

48,305
8,505
19 / 17
28 / 25

seconde centrale

49,218
8,665
2^2*7 / 5^2
9 / 8

ton majeur

51,153
9,006
3^2 / 2^3
256 / 225

tierce diminuée

56,057
9,870
2^8 / 3^2 / 5^2
729 / 640

seconde majeur forte

56,548
9,956
3^6 / 2^7 / 5
4782969 / 4194304

unisson double augmenté de Pythagore

57,038
10,042
3^14 / 2^22
8 / 7

ton majeur septimal, seconde septimale

57,992
10,210
2^3 / 7
144 / 125

tierce diminuée classique

61,452
10,819
2^4*3^2 / 5^3
231 / 200

5 quarts de ton

62,582
11,018
3*7*11 / 2^3 / 5^2
37 / 32

37ème harmonique

63,052
11,101
37 / 2^5
81 / 70

majeur du luth d'Al-Hwarizmi

63,387
11,160
3^4 / 2 / 5 / 7
125 / 108

ton augmenté grave

63,486
11,178
5^3 / 2^2 / 3^3
7 / 6

tierce mineure septimale

66,947
11,787
7 / 2 / 3
16777216 / 14348907

quarte double diminuée de Pythagore

67,901
11,955
2^24 / 3^15
2560 / 2187

tierce mineure faible

68,391
12,041
2^9*5 / 3^7
75 / 64

seconde augmentée classique

68,881
12,127
3*5^2 / 2^6
27 / 23

tierce mineure vicesimotiercale

69,636
12,260
3^3 / 23
20 / 17

seconde augmentée septendecimale

70,581
12,427
2^2*5 / 17
33 / 28

tierce mineure undecimale

71,356
12,563
3*11 / 2^2 / 7
13 / 11

tierce mineure tridecimale

72,551
12,773
13 / 11
32 / 27

tierce mineure de Pythagore

73,786
12,991
2^5 / 3^3
1215 / 1024

seconde augmentée forte

74,276
13,077
3^5*5 / 2^10
19 / 16

19ème harmonique

74,634
13,140
19 / 2^4
25 / 21

BP seconde, tierce mineur quasi temperé

75,721
13,332
5^2 / 3 / 7
81 / 68

tierce mineure persane

75,976
13,377
3^4 / 2^2 / 17
6 / 5

tierce mineure

79,181
13,941
2*3 / 5
19683 / 16384

seconde augmentée de Pythagore

79,671
14,027
3^9 / 2^14
4096 / 3375

quarte double diminuée

84,086
14,804
2^12 / 3^3 / 5^3
17 / 14

tierce supramineure

84,321
14,846
17 / 2 / 7
243 / 200

tierce mineure forte

84,576
14,891
3^5 / 2^3 / 5^2
39 / 32

39ème harmonique, Zalzal wosta de Ibn Sina

85,915
15,126
3*13 / 2^5
128 / 105

tierce neutre septimale

86,021
15,145
2^7 / 3 / 5 / 7
11 / 9

tierce neutre undecimale

87,150
15,344
11 / 3^2
153 / 125

7 quarts de ton

87,781
15,455
3^2*17 / 5^3
60 / 49

approximation plus petite de la tierce neutre

87,955
15,486
2^2*3*5 / 7^2
49 / 40

approximation plus large de la tierce neutre

88,136
15,517
7^2 / 2^3 / 5
27 / 22

tierce neutre, Zalzal wosta de al-Farabi

88,941
15,659
3^3 / 2 / 11
16 / 13

tierce neutre tridecimale

90,177
15,877
2^4 / 13
100 / 81

tierce majeure grave

91,515
16,112
2^2*5^2 / 3^4
10125 / 8192

seconde double augmentée

92,005
16,199
3^4*5^3 / 2^13
8192 / 6561

quarte diminuée de Pythagore

96,420
16,976
2^13 / 3^8
5 / 4

tierce majeure

96,910
17,062
5 / 2^2
34 / 27

tierce majeure septendecimale

100,115
17,626
2*17 / 3^3
63 / 50

tierce majeure quasi-égale

100,371
17,671
3^2*7 / 2 / 5^2
24 / 19

tierce majeure undevicesimale moins large

101,458
17,863
2^3*3 / 19
512 / 405

quarte diminuée faible

101,815
17,926
2^9 / 3^4 / 5
81 / 64

tierce majeure de Pythagore

102,305
18,012
3^4 / 2^6
19 / 15

diton undevicesimal

102,662
18,075
19 / 3 / 5
33 / 26

tierce majeure tridecimale

103,541
18,230
3*11 / 2 / 13
80 / 63

tierce majeure forte

103,749
18,266
2^4*5 / 3^2 / 7
14 / 11

quarte diminuée undecimale ou tierce majeure

104,735
18,440
2*7 / 11
23 / 18

tierce majeure vicesimotiercale

106,455
18,743
23 / 2 / 3^2
32 / 25

quarte diminuée classique

107,210
18,876
2^5 / 5^2
43046721 / 33554432

seconde double augmentée de Pythagore

108,190
19,048
3^16 / 2^25
9 / 7

tierce majeure septimale, BP tierce

109,144
19,216
3^2 / 7
35 / 27

9 quarts de ton, infra-quarte septimale

112,704
19,843
5*7 / 3^3
13 / 10

quarte diminuée tridecimale

113,943
20,061
13 / 2 / 5
125 / 96

tierce augmentée classique

114,639
20,184
5^3 / 2^5 / 3
21 / 16

quarte étroite

118,099
20,793
3*7 / 2^4
2097152 / 1594323

quinte double diminuée de Pythagore

119,054
20,961
2^21 / 3^13
320 / 243

quarte faible

119,544
21,047
2^6*5 / 3^5
675 / 512

tierce augmentée large

120,034
21,133
3^3*5^2 / 2^9
33 / 25

2 pentatons

120,574
21,229
3*11 / 5^2
4 / 3

quarte juste

124,939
21,997
2^2 / 3
10935 / 8192

approximation limite-5 de la quarte temperée

125,429
22,083
3^7*5 / 2^13
27 / 20

quarte forte

130,334
22,947
3^3 / 2^2 / 5
177147 / 131072

tierce augmentée de Pythagore

130,824
23,033
3^11 / 2^17
49 / 36

quarte forte du luth arabe

133,894
23,574
7^2 / 2^2 / 3^2
15 / 11

quarte augmentée undecimale

134,699
23,715
3*5 / 11
512 / 375

quinte double-diminuée

135,239
23,810
2^9 / 3 / 5^3
48 / 35

supra-quarte septimale

137,173
24,151
2^4*3 / 5 / 7
5625 / 4096

tierce double augmentée

137,763
24,255
3^2*5^4 / 2^12
687 / 500

11 quarts de ton

137,987
24,294
3*229 / 2^2 / 5^3
11 / 8

supra-quarte undecimale

138,303
24,350
11 / 2^3
536870912 / 387420489

sixte double diminuée de Pythagore

141,687
24,946
2^29 / 3^18
25 / 18

quarte augmentée classique

142,668
25,118
5^2 / 2 / 3^2
32 / 23

23ème subharmonique

143,422
25,251
2^5 / 23
7 / 5

triton septimale, triton d'Huygens, BP quarte

146,128
25,728
7 / 5
1024 / 729

quinte diminuée de Pythagore

147,572
25,982
2^10 / 3^6
45 / 32

triton diatonique

148,063
26,068
3^2*5 / 2^5
24 / 17

1er triton septendecimal

149,762
26,367
2^3*3 / 17
140 / 99

triton quasi-égal

150,493
26,496
2^2*5*7 / 3^2 / 11
99 / 70

2eme triton quasi-égal

150,537
26,504
3^2*11 / 2 / 5 / 7
17 / 12

2ème triton septendecimal

151,268
26,633
17 / 2^2 / 3
64 / 45

2eme triton

152,967
26,932
2^6 / 3^2 / 5
729 / 512

triton de Pythagore

153,458
27,018
3^6 / 2^9
10 / 7

triton d'Euler

154,902
27,272
2*5 / 7
23 / 16

23ème harmonique

157,608
27,749
23 / 2^4
36 / 25

quinte diminuée classique

158,362
27,882
2^2*3^2 / 5^2
387420489 / 268435456

tierce double augmentée de Pythagore

159,343
28,054
3^18 / 2^28
16 / 11

infra-quinte undecimale

162,727
28,650
2^4 / 11
131 / 90

13 quarts de ton

163,029
28,703
131 / 2 / 3^2 / 5
8192 / 5625

sixte double diminuée

163,267
28,745
2^13 / 3^2 / 5^4
35 / 24

infra-quinte septimale

163,857
28,849
5*7 / 2^3 / 3
375 / 256

quarte double-augmentée

165,791
29,190
3*5^3 / 2^8
22 / 15

quinte diminuée undecimale

166,331
29,285
2*11 / 3 / 5
72 / 49

quinte grave du luth arabe

167,136
29,426
2^3*3^2 / 7^2
262144 / 177147

sixte diminuée de Pythagore

170,206
29,967
2^18 / 3^11
40 / 27

quinte grave

170,696
30,053
2^3*5 / 3^3
749 / 500

quinte quasi-égale Chinoise

175,512
30,901
7*107 / 2^2 / 5^3
16384 / 10935

approximation limite-5 de la quinte temperée

175,601
30,917
2^14 / 3^7 / 5
3 / 2

quinte juste

176,091
31,003
3 / 2
50 / 33

3 pentatons

180,456
31,771
2*5^2 / 3 / 11
1024 / 675

sixte diminuée faible

180,996
31,867
2^10 / 3^3 / 5^2
243 / 160

quinte forte

181,486
31,953
3^5 / 2^5 / 5
1594323 / 1048576

quarte double augmentée de Pythagore

181,976
32,039
3^13 / 2^20
32 / 21

quinte large

182,931
32,207
2^5 / 3 / 7
75 / 49

BP quinte

184,865
32,548
3*5^2 / 7^2
192 / 125

sixte diminuée classique

186,391
32,816
2^6*3 / 5^3
20 / 13

quinte augmentée tridecimale

187,087
32,939
2^2*5 / 13
91 / 59

15 quarts de ton

188,189
33,133
7*13 / 59
54 / 35

supra-quinte septimale

188,326
33,157
2*3^3 / 5 / 7
14 / 9

sixte mineure septimale

191,886
33,784
2*7 / 3^2
67108864 / 43046721

septième double diminuée de Pythagore

192,840
33,952
2^26 / 3^16
25 / 16

quinte augmentée classique

193,820
34,124
5^2 / 2^4
11 / 7

quinte augmentée undecimale

196,295
34,560
11 / 7
63 / 40

sixte mineure faible

197,281
34,734
3^2*7 / 2^3 / 5
52 / 33

sixte mineure tridecimale

197,489
34,770
2^2*13 / 3 / 11
30 / 19

sixte mineure undevicesimale moins large

198,368
34,925
2*3*5 / 19
128 / 81

sixte mineure de Pythagore

198,725
34,988
2^7 / 3^4
405 / 256

quinte augmentée forte

199,215
35,074
3^4*5 / 2^8
19 / 12

sixte mineure undevicesimale

199,572
35,137
19 / 2^2 / 3
100 / 63

sixte mineure quasi-égale

200,659
35,329
2^2*5^2 / 3^2 / 7
27 / 17

sixte mineure septendecimale

200,915
35,374
3^3 / 17
8 / 5

sixte mineure

204,120
35,938
2^3 / 5
6561 / 4096

quinte augmentée de Pythagore

204,610
36,024
3^8 / 2^12
16384 / 10125

septième double diminuée

209,025
36,801
2^14 / 3^4 / 5^3
81 / 50

sixte mineure forte

209,515
36,888
3^4 / 2 / 5^2
13 / 8

sixte neutre tridecimale

210,853
37,123
13 / 2^3
44 / 27

sixte neutre

212,089
37,341
2^2*11 / 3^3
80 / 49

approximation moins large de la sixte neutre

212,894
37,483
2^4*5 / 7^2
49 / 30

approximation plus large de la sixte neutre

213,075
37,514
7^2 / 2 / 3 / 5
250 / 153

17 quarts de ton

213,249
37,545
2*5^3 / 3^2 / 17
18 / 11

sixte neutre undecimale

213,880
37,656
2*3^2 / 11
105 / 64

sixte neutre septimal

215,009
37,855
3*5*7 / 2^6
64 / 39

39ème subharmonique

215,115
37,874
2^6 / 3 / 13
400 / 243

sixte majeur faible

216,454
38,109
2^4*5^2 / 3^5
28 / 17

sixte majeure moins large

216,709
38,154
2^2*7 / 17
3375 / 2048

quinte double augmentée

216,944
38,196
3^3*5^3 / 2^11
32768 / 19683

septième diminuée de Pythagore

221,359
38,973
2^15 / 3^9
5 / 3

sixte majeure, BP sixte

221,849
39,059
5 / 3
42 / 25

sixte majeur quasi temperé

225,309
39,668
2*3*7 / 5^2
32 / 19

19ème subharmonique

226,396
39,860
2^5 / 19
2048 / 1215

septième diminuée faible

226,754
39,923
2^11 / 3^5 / 5
27 / 16

sixte majeure de Pythagore

227,244
40,009
3^3 / 2^4
22 / 13

sixte majeure tridecimale

228,479
40,227
2*11 / 13
17 / 10

septième diminuée septendecimale

230,449
40,573
17 / 2 / 5
128 / 75

septième diminuée

232,149
40,873
2^7 / 3 / 5^2
2187 / 1280

sixte majeure forte

232,639
40,959
3^7 / 2^8 / 5
14348907 / 8388608

quinte double augmentée de Pythagore

233,129
41,045
3^15 / 2^23
12 / 7

sixte majeure septimale

234,083
41,213
2^2*3 / 7
216 / 125

septième diminuée forte

237,544
41,822
2^3*3^3 / 5^3
64 / 37

37ème subharmonique

237,978
41,899
2^6 / 37
161 / 93

19 quarts de ton

238,343
41,963
7*23 / 3 / 31
125 / 72

sixte augmentée classique

239,578
42,181
5^3 / 2^3 / 3^2
7 / 4

septième mineure harmonique

243,038
42,790
7 / 2^2
8388608 / 4782969

octave double diminué de Pythagore

243,992
42,958
2^23 / 3^14
1280 / 729

septième mineure faible

244,482
43,044
2^8*5 / 3^6
225 / 128

sixte augmentée

244,973
43,130
3^2*5^2 / 2^7
16 / 9

septième mineure de Pythagore

249,877
43,994
2^4 / 3^2
25 / 14

septième mineure centrale

251,812
44,335
5^2 / 2 / 7
9 / 5

septième mineure juste, BP septième

255,273
44,944
3^2 / 5
59049 / 32768

sixte augmentée de Pythagore

255,763
45,030
3^10 / 2^15
29 / 16

29ème harmonique

258,278
45,473
29 / 2^4
20 / 11

septième mineure grande

259,637
45,712
2^2*5 / 11
2048 / 1125

octave double diminué

260,177
45,807
2^11 / 3^2 / 5^3
729 / 400

septième mineure forte

260,668
45,894
3^6 / 2^4 / 5^2
64 / 35

septième neutre septimal

262,112
46,148
2^6 / 5 / 7
1875 / 1024

sixte double-augmentée

262,701
46,252
3*5^4 / 2^10
11 / 6

21 quarts de ton, septième neutre undecimale

263,241
46,347
11 / 2 / 3
81 / 44

2eme septième neutre undecimale

265,032
46,662
3^4 / 2^2 / 11
24 / 13

septième neutre tridecimale

266,268
46,880
2^3*3 / 13
50 / 27

septième majeur faible

267,606
47,115
2*5^2 / 3^3
13 / 7

16 tiers de ton

268,845
47,333
13 / 7
28 / 15

septième majeure grave

271,067
47,725
2^2*7 / 3 / 5
4096 / 2187

octave diminué de Pythagore

272,511
47,979
2^12 / 3^7
15 / 8

septième majeure classique

273,001
48,065
3*5 / 2^3
32 / 17

17ème subharmonique

274,701
48,364
2^5 / 17
17 / 9

septième majeure septendecimal

276,206
48,630
17 / 3^2
256 / 135

octave - limma majeur

277,906
48,929
2^8 / 3^3 / 5
243 / 128

septième majeure de Pythagore

278,396
49,015
3^5 / 2^7
19 / 10

septième majeure undevicesimale

278,754
49,078
19 / 2 / 5
40 / 21

septième majeure forte

279,841
49,269
2^3*5 / 3 / 7
48 / 25

octave diminuée classique

283,301
49,879
2^4*3 / 5^2
129140163 / 67108864

sixte double augmentée de Pythagore

284,281
50,051
3^17 / 2^26
27 / 14

septième majeure septimale

285,236
50,219
3^3 / 2 / 7
625 / 324

octave - dièze majeur

285,335
50,237
5^4 / 2^2 / 3^4
31 / 16

31ème harmonique

287,242
50,572
31 / 2^4
64 / 33

33ème subharmonique

287,666
50,647
2^6 / 3 / 11
68 / 35

23 quarts de ton

288,441
50,784
2^2*17 / 5 / 7
243 / 125

octave - dièze maximal

288,696
50,828
3^5 / 5^3
35 / 18

infra-octave septimale

288,796
50,846
5*7 / 2 / 3^2
125 / 64

septième augmentée classique, octave - dièze mineur

290,730
51,187
5^3 / 2^6
49 / 25

BP octave

292,256
51,455
7^2 / 5^2
6144 / 3125

octave - petit dièze

293,601
51,692
2^11*3 / 5^5
19683 / 10000

octave - dièze minimal

294,091
51,778
3^9 / 2^4 / 5^4
63 / 32

octave - comma septimal

294,191
51,796
3^2*7 / 2^5
1048576 / 531441

neuvième diminuée de Pythagore

295,145
51,964
2^20 / 3^12
160 / 81

octave - comma syntonique

295,635
52,050
2^5*5 / 3^4
2025 / 1024

2 tritons

296,125
52,136
3^4*5^2 / 2^10
65536 / 32805

octave - schisma

300,540
52,914
2^16 / 3^8 / 5
2

octave

301,030
53,000
2
531441 / 262144

septième augmentée de Pythagore

306,915
54,036
3^12 / 2^18
25 / 12

octave augmentée classique

318,759
56,121
5^2 / 2^2 / 3
17 / 8

neuvième mineure harmonique

327,359
57,636
17 / 2^3
32 / 15

neuvième mineure

329,059
57,935
2^5 / 3 / 5
15 / 7

neuvième mineure septimale, BP neuvième

330,993
58,275
3*5 / 7
1162261467 / 536870912

septième double augmentée de Pythagore

335,434
59,057
3^19 / 2^29
11 / 5

neuvième neutre

342,423
60,288
11 / 5
20 / 9

petite neuvième

346,787
61,056
2^2*5 / 3^2
9 / 4

neuvième majeure

352,183
62,006
3^2 / 2^2
16 / 7

neuvième majeure septimale

359,022
63,210
2^4 / 7
7 / 3

dixième minimal, BP dixième

367,977
64,787
7 / 3
63 / 25

dixième majeure quasi-égale, BP onzième

401,401
70,671
3^2*7 / 5^2
25 / 9

onzième augmentée classique, BP douzième

443,697
78,118
5^2 / 3^2

" On appelle seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, les intervalles entre la première notes de la gamme diatonique et la seconde, la troisième…, la septième note qui suit. L'intervalle est dit juste ou majeur. L'intervalle augmenté est égale à l'intervalle majeur de même nom plus un demi-ton chromatique. L'intervalle mineur est égale à l'intervalle majeur de même nom moins un demi-ton. La tierce et la septième diminuées valent l'intervalle majeur moins un ton. La quarte, la quinte et l'octave diminuées valent l'intervalle majeur moins un demi-ton : on n'emplois pas ici le mot mineur. "


6. Le savart

Le savart est une échelle logarithmique des fréquences du nom de son inventeur, M. Félix Savart, physicien français (Mézières, 1791 - Paris, 1841) (célèbre pour sa loi de Biot & Savart sur le champ magnétique). Comme pour les décibels, ont peut le définir de façons absolu, mais cela n'a pas d'intérêt. C'est l'intervalle en savart qui est utile.

   

w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en savart.

En vertu de la loi physiologique fondamentale (voir §2.3), qui affirme que notre perception d'un accord entre deux sons, mesure les rapports de fréquence et non les différences de fréquence, et en vertu d'une loi physiologique plus générale qui montre que la sensation varie comme le logarithme de l'excitation (sensibilité différentielle) : Sensation = k × log(Excitation). Le savart traduit la sensation physiologique de la hauteur sonore : Une augmentation de ~301 savarts correspond à un doublement de la sensation de hauteur du son qui correspond au doublement de la fréquence, et une diminution de ~301 savarts correspond à une division par deux de la sensation de hauteur du son qui correspond à une division par 2 de la fréquence. D'où l'analogie avec la définition du décibel. (sauf que M. Savart n'a pas normé son unité, et a choisi une échelle logarithmique quelconque, le millième de l'intervalle(10). Ce qui fait que le doublement de la hauteur du son correspond à un nombre non entier de savart, 301,03….)

L'intervalle(2), appelé octave, qui consiste à multiplier la fréquence par 2, vaut approximativement 301 savarts. Et l'intervalle(3/2), appelé quinte, qui consiste à multiplier la fréquence par 3/2, vaut approximativement 176 savarts. Sachez qu'un ½ savart est "considéré" comme indiscernable à l'oreille (ce qui n'est pas exacte à cause des battements).

Si un auditeur s'approche de la source sonore en marchant à 1 m.s-1. A cause du déplacement Doppler, les sons perçus sont décalés de 1,3 savarts (soit à peu près d'un quart de comma).

Le savart entier est une échelle égale ou dite tempéré des sons correspondant à une division de l'Intervalle(10) en 1000 unités. En changeant la constante ou bien en changeant la base du logarithme, on obtient toutes les échelles égales :


w1 : Fréquence du premier son.
w2 : Fréquence du deuxième son.
B : Intervalle de base.
N : nombre d'unités par intervalle B.
x : Intervalle de w1 à w2 exprimé en Nième d' intervalle(B).

Une autre unité que nous utiliserons est le 53ième d'octave. Elle correspond à la division d'une octave en 53 sons d'intervalle égale. (B=2, N=53).


7. Principe d'équivalence des sons à l'octave près.

L 'effet musical d'un accord entre deux sons n'est pas changé notablement lorsque l'un des sons est déplacé d'une ou plusieurs octave au-dessous ou au dessus : La nature musicale d'un intervalle ne change pas beaucoup si on l'augmente ou le diminue, en multipliant ou divisant son facteur multiplicatif par 2^n (c'est à dire en lui ajoutant ou soustrayant approximativement 301*n savarts) : Les sons dont les fréquences sont dans les rapports w, 2w, 4w, 8w, 16w…, 2^n w sont musicalement équivalents.

Si nous adoptons ce principe, chaque son peut être ramené en le déplaçant d'un nombre d'octave voulu, dans une octave donnée. Il résulte que tous les intervalles peuvent être ramenés dans un intervalle compris entre l'intervalle(1) de zéro savart et l'intervalle(2) de ~301 savarts, par modulo l'octave, c'est à dire modulo ~301 savarts.

H.Bouasse Bases physiques de la Musique, Gauthier-Villars, 1906 [§8]


8. Les intervalles de Pythagore

Une première approche consiste à construire tous les intervalles engendrés par l'intervalle(2) et l'intervalle(3). Ils sont de la forme intervalle() avec x et y entier relatif. Et à ne s'intéresser qu'à ceux compris entre l'intervalle(1) et l'intervalle(2).

Une octave est l'intervalle entre la fréquence de base qui est l'harmonique1, et l'harmonique2. L'harmonique2 est l'un des plus fort harmonique pour la plus part des timbres. Deux sons séparés par une octave ont une affinité très grande, le plus aiguë étant généralement partie constituante de l'autre.

Une quinte est l'intervalle entre l'harmonique3 et l'harmonique2.

Un ton est l'intervalle entre l'harmonique 8 et l'harmonique 9.

Voici la table des intervalles() faite par Pythagore :

Gamme de Mercator à 53 degrés

x
y
Intervalle
Savart
53

Nom

0
0
0
0.000
0

Unisson

1
0
2
301.030
53

Octave

-1
1
3/2
176.091
31

Quinte juste

2
-1
4/3
124.939
22

Quarte juste

-3
2
9/8
51.153
9

Ton majeur

4
-2
16/9
249.877
44

Septième mineure de Pythagore

-4
3
27/16
227.244
40

Sixte majeure de Pythagore

5
-3
32/27
73.786
13

Tierce mineure de Pythagore

-6
4
81/64
102.305
18

Tierce majeure de Pythagore

7
-4
128/81
198.725
35

Sixte mineure de Pythagore

-7
5
243/128
278.396
49

Septième majeure de Pythagore

8
-5
256/243
22.634
4

Limma. seconde mineure de Pythagore

-9
6
729/512
153.458
27

Triton de Pythagore

10
-6
1024/729
147.572
26

Quinte diminuée de Pythagore

-11
7
2187/2048
28.519
5

Apotome

12
-7
4096/2187
272.511
48

Octave diminué de Pythagore

-12
8
6561/4096
204.610
36

Quinte augmentée de Pythagore

13
-8
8192/6561
96.420
17

Quarte diminuée de Pythagore

-14
9
19683/16384
79.671
14

Seconde augmentée de Pythagore

15
-9
32768/19683
221.359
39

Septième diminuée de Pythagore

-15
10
59049/32768
255.763
45

Sixte augmentée de Pythagore

16
-10
65536/59049
45.267
8

Tierce diminuée de Pythagore

-17
11
177147/131072
130.824
23

Tierce augmentée de Pythagore

18
-11
262144/177147
170.206
30

Sixte diminuée de Pythagore

-19
12
531441/524288
5.885
1

Comma de Pythagore

20
-12
1048576/531441
295.145
52

Neuvième diminuée de Pythagore

-20
13
1594323/1048576
181.976
32

Quarte double augmentée de Pythagore

21
-13
2097152/1594323
119.054
21

Quinte double diminuée de Pythagore

-22
14
4782969/4194304
57.038
10

Unisson double augmenté de Pythagore

23
-14
8388608/4782969
243.992
43

Octave double diminué de Pythagore

-23
15
14348907/8388608
233.129
41

Quinte double augmentée de Pythagore

24
-15
16777216/14348907
67.901
12

Quarte double diminuée de Pythagore

-25
16
43046721/33554432
108.190
19

Seconde double augmentée de Pythagore

26
-16
67108864/43046721
192.840
34

Septième double diminuée de Pythagore

-26
17
129140163/67108864
284.281
50

Sixte double augmentée de Pythagore

27
-17
134217728/129140163
16.749
3

Tierce double diminuée de Pythagore

-28
18
387420489/268435456
159.343
28

Tierce double augmentée de Pythagore

29
-18
536870912/387420489
141.687
25

Sixte double diminuée de Pythagore

-30
19
1162261467/1073741824
34.404
6

 

31
-19
2147483648/1162261467
266.626
47

 

-31
20
3486784401/2147483648
210.495
37

 

32
-20
4294967296/3486784401
90.535
16

 

-33
21
10460353203/8589934592
85.556
15

 

34
-21
17179869184/10460353203
215.474
38

 

-34
22
31381059609/17179869184
261.648
46

 

35
-22
34359738368/31381059609
39.382
7

 

-36
23
94143178827/68719476736
136.709
24

 

37
-23
137438953472/94143178827
164.321
29

 

-38
24
282429536481/274877906944
11.770
2

 

39
-24
549755813888/282429536481
289.260
51

 

-39
25
847288609443/549755813888
187.862
33

 

40
-25
1099511627776/847288609443
113.168
20

 

-41
26
2541865828329/2199023255552
62.923
11

 

42
-26
4398046511104/2541865828329
238.107
42

 

Les combinaisons d'intervalles s'obtiennent facilement grâce au vecteur [x,y] ou à leur évaluation en savarts ou en 53 ième d'octave. Par exemple, le limma (qui correspond au demi-ton diatonique) ce combine avec l'apotome (qui correspond au demi-ton chromatique ) pour donner le ton majeur :

Nom :                   1 ton majeur   =   1 limma       +   1 apotome
Vecteur :                  1 * [-3,2]   =   1 * [8,-5]      +   1 * [-11,7]
Intervale :                       (9/8)^1 =   (256/243)^1 *   (2187/2048)^1
Savart :                       1 * 51,2   =   1 * 22,6       +   1 * 28,5
53ième d'octave :             1 * 9   =   1 * 4            +   1 * 5

Nom :                 1 quinte juste    =   3 ton majeur  +   1 limma
Vecteur :                  1 * [-1,1]    =   3 * [-3,2]      +   1 * [8,-5]
Intervalle :                     (3/2)^1   =   (9/8)^3         *    (256/243)^1
Savart :                     1 * 176,1   =   3 * 51,2       +    1 * 22,6
53ième d'octave :          1 * 31    =   3 * 9            +    1 * 4


9. Les approximations

L'ensemble des intervalles engendrés par l'intervalle(2) et l'intervalle(3) est illimité car il n'existe pas de valeur x, y entière telque =1. Les valeurs qui approchent sensiblement 1 par valeur supérieur sont :

x

y
Intervalle ()
Savarts
Nom de l’intervalle
8
-5
1.05350
22.633

Limma

-19
12
1.01364
5.885

Comma de Pythagore

65
-41
1.01153
4.978

Comma du 41 tons

-84
53
1.00209
0.907

Comma de Mercator

485
-306
1.00102
0.444
-1054
665
1.00004
0.019

Si nous prenons le comma de Mercator comme approximation de 1, alors la table des intervalle de Pythagore s'arrête là ou elle est arrêté. Elle comporte 53 notes qui coïncident pratiquement avec la subdivision de l'octave en 53 intervalles égaux. Et constitue la gamme de Mercator à 53 degrés, du nom de celui qui l'a découverte et proposée, le mathématicien et astronome allemand, Nicolaus Mercator (1620-1687).

Et en introduisant l'intervalle(5), les intervalle() qui approchent sensiblement 1 par valeur supérieur sont :

x
y
z
Intervalle ()
Savarts
Nom de l'intervalle
-3
-1
2
1.0417
17.729

Semiton mineur, chroma mineur

-4
4
-1
1.0125
5.395

Comma syntonique

11
-4
-2
1.0114
4.905

Diaschisma, comma mineur

-6
-5
6
1.0047
2.034

Kleisma, semicomma majeur

-15
8
1
1.0011
0.490

Schisma

38
-2
-15
1.0008
0.347

 

-53
10
16
1.0003
0.143

 

= 1.0011 est le schisma et vaut 0,490 savarts.

A l'aide de cette dernière approximation, La table précédente devient une table des intervalles() plus simple :

x
y
z
Intervalle
Savart
53
Nom
0
0
0
1
0.000
0
Unisson
1
0
0
2
301.029
53
Octave
-1
1
0
3/2
176.091
31
Quinte juste
2
-1
0
4/3
124.938
22
Quarte juste
-3
2
0
9/8
51.152
9
Ton majeur
4
-2
0
16/9
249.877
44
Septième mineure de Pythagore
-4
3
0
27/16
227.243
40
Sixte majeure de Pythagore
5
-3
0
32/27
73.786
13
Tierce mineure de Pythagore
-6
4
0
81/64
102.305
18
Tierce majeure de Pythagore
7
-4
0
128/81
198.724
35
Sixte mineure de Pythagore
8
-3
-1
256/135
277.906
49
Octave - Limma majeur
-7
3
1
135/128
23.124
4
Limma majeur. chroma majeur
6
-2
-1
64/45
152.967
27
2eme triton
-5
2
1
45/32
148.063
26
Triton diatonique
4
-1
-1
16/15
28.029
5
Semiton majeur
-3
1
1
15/8
273.001
48
Septième majeure classique
3
0
-1
8/5
204.120
36
Sixte mineure
-2
0
1
5/4
96.910
17
Tierce majeure
1
1
-1
6/5
79.181
14
Tierce mineure
0
-1
1
5/3
221.849
39
Sixte majeure. BP sixte
0
2
-1
9/5
255.273
45
Septième mineure juste. BP septième
1
-2
1
10/9
45.757
8
Ton mineur
-2
3
-1
27/20
130.334
23
Quarte forte
3
-3
1
40/27
170.696
30
Quinte grave
-4
4
-1
81/80
5.395
1
Comma syntonique
5
-4
1
160/81
295.635
52
Octave - Comma syntonique
-5
5
-1
243/160
181.486
32
Quinte forte
6
-5
1
320/243
119.544
21
Quarte faible
8
-2
-2
256/225
56.057
10
Tierce diminuée
-7
2
2
225/128
244.973
43
Sixte augmentée
7
-1
-2
128/75
232.149
41
Septième diminuée
-6
1
2
75/64
68.881
12
Seconde augmentée classique
5
0
-2
32/25
107.210
19
Quarte diminuée classique
-4
0
2
25/16
193.820
34
Quinte augmentée classique
4
1
-2
48/25
283.301
50
Octave diminuée classique
-3
-1
2
25/24
17.729
3
Semiton mineur. chroma mineur
2
2
-2
36/25
158.362
28
Quinte diminuée classique
-1
-2
2
25/18
142.668
25
Quarte augmentée classique
0
3
-2
27/25
33.424
6
Semiton maxime. BP semiton petit
1
-3
2
50/27
267.606
47
Septième majeur faible
-1
4
-2
81/50
209.515
37
Sixte mineure forte
2
-4
2
100/81
91.515
16
Tierce majeur grave
-3
5
-2
243/200
84.576
15
Tierce mineur forte
4
-5
2
400/243
216.454
38
Sixte majeur faible
-4
6
-2
729/400
260.668
46
Septième mineure forte
5
-6
2
800/729
40.362
7
Ton moindre
9
-1
-3
512/375
135.239
24
Quinte double - diminuée
-8
1
3
375/256
165.791
29
Quarte double - augmentée
7
0
-3
128/125
10.300
2
Dièze mineur. dièze enharmonique
-6
0
3
125/64
290.73
51
Septième augmentée classique, octave – dièze mineur
6
1
-3
192/125
186.391
33
Sixte diminuée classique
-5
-1
3
125/96
114.639
20
Tierce augmentée classique
4
2
-3
144/125
61.452
11
Tierce diminuée classique
-3
-2
3
125/72
239.578
42
Sixte augmentée classique

 


10. Les intervalles de Leibnitz :

Leibniz et la théorie de la musique (Patrice Bailhache Professeur à l'Université de Nantes)


11. Les gammes

On donne le nom de gamme à une subdivision d'un intervalle par une suite de plus petits intervalles. La gamme permet de définir une suite croissante d'intervalles appelés notes. La première note est appelée la tonique. S'il n'y a pas de note choisie pour la tonique, du fait que l'harmonie musicale est invariante par transposition, la gamme est alors définie à une permutation circulaire près de sa subdivision. Nous n'étudierons que des gammes qui subdivisent l'octave.

12. La gamme tempérée à N notes

La gamme tempérée s'obtient en subdivisant l'octave en N notes d'intervalles égaux, soit en des intervalles(2^(1/N)). L'avantage de toute gamme tempérée, est qu'il est possible d'opérer des transpositions d'un nombre quelconque de notes tous en restant dans la gamme. La nature musicale d'un accord étant invariante par transposition (voir §2.3), on peut donc chercher les règles d'harmonies parmis celles qui sont invariantes par transposition.

Après avoir fixé une note zéro comme origine d'un système de coordonnées, les notes peuvent être désigné de trois façons possible :

  • Soit par le facteur multiplicatif k de l'intervalle entre la note zéro et la note concerné :

k = 2^(x/N)

  • Soit par l'entier x qui désigne l'écart de note entre la note zéro et la note concernée :

x = N*ln(k)/ln(2) = N*h+c

  • Soit de la forme c indice h, où c désigne la note dans l'octave, et h désigne l'octave. Les notes de l'octave sont {0,1,2,3,...,N-1}, 00 désigne la note origine (note 0 de l'octave 0). 52 désigne la note 5 de l'octave 2 :

h = x div N, et c = x mod N

L'échelle logarithmique des fréquences dans la base 2, multipliée par N, subdivise l'octave en N notes d'intervalles égaux, d'où l'appellation de nombre d'N ième d'octave (voir §6). Il reste à choisir un nombre pertinent N de notes par octave. On recherche N tel que l'intervalle(3) corresponde le plus proche possible à une des notes de la gamme tempéré à N notes :

N
l’Intervalle(3) exprimé en N ième d'octave
Arrondi
Ecart
l’Intervalle(5) exprimé en N ième d'octave
Arrondi
Ecart
5
7.92481
8
0.07519
11.60964047

12

0.39
12
19.01955
19
0.01955
27.86313714
28
0.14
41
64.98346
65
0.01654
95.19905189
95
0.20
53
84.00301
84
0.00301
123.062189
123
0.06
306
484.99853
485
0.00147
710.5100
711
0.49
665
1054.00006
1054
0.00006
1544.0822
1544
0.08

 


13. La gamme pythagoricienne

Les grecs anciens ne considéraient pas les tierces et les sixtes comme consonant mais seulement l'octave, la quinte et la quarte. Ils ont construit leur gamme par des intervalles successifs de quintes, modulo l'octave.

Note ()
Do
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
x
0
-3
-8
2
-1
-4
-7
1
y
0
2
4
-1
1
3
5
0
Intervalle
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
Savart
0
51,15
102,31
124,94
176,09
227,24
278,40
301,03
53ième
0
9,01
18,01
22,00
31,00
40,01
49,02
53,00

http://asso.nordnet.fr/ccsti/concoursiufm02/candidat8/p1.htm

Les 4 premiers harmoniques [1, 2, 3, 4] correspondent pour le Do1 exactement aux notes [Do1, Do2, Sol2, Do3]. Voilà pourquoi le Do engendre le Sol, et qu'il est naturel de construire les notes par quintes successives, les quartes étant des quintes descendante modulo l'octave.

Considérons l'ensemble des intervalles obtenus par combinaisons de quintes et d'octaves. Ils sont de la forme . Si nous souhaitons les ramener dans l'octave, il suffit de poser x = - floor(y*ln(3)/ln(2)). Les intervalles de la forme se caractérisent à l'octave près par l'unique coordonné y qui indique le nombre de quinte. Ces notes forment la ligne des quintes.

Une succession de 6 quintes ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles : [9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 9/8, 256/243] à une permutation circulaire près. C 'est la gamme pythagoricienne. Elle contient deux types d'intervalle, le ton (9/8) et le limma (256/243), que l'on désignent parfois par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9 et 4.

Si nous tenons compte de la flèche du temps, et fixons la note initiale, alors il existe 7 possibilités de construire la gamme pythagoricienne qui correspondent aux 7 permutations circulaires des subdivisions de l'octave, et qui correspondent à la proportion de quintes et de quartes (ou quintes descendantes) nécessaire pour atteindre les notes de la gamme à partir de la note initiale appelée tonique ou plus simplement qui correspondent à la position de la tonique dans la suite des 6 quintes originelles.

C'est 7 possibilités correspondent aux 7 modes grecs primitifs, que l'on désigne parfois par la première note de leur expression incluse dans la gamme de do majeur pythagoricienne (mode lydien) :

Tonique
Place de la tonique
dans la succession
des 6 quintes
Mode grec primitif
1
2
3
4
5
6
7
fa
0
hypolydien
9
9
9
4
9
9
4
do
1
lydien
9
9
4
9
9
9
4
sol
2
hypophrygien
9
9
4
9
9
4
9
3
phrygien
9
4
9
9
9
4
9
la
4
hypodorien
9
4
9
9
4
9
9
mi
5
dorien
4
9
9
9
4
9
9
si
6
mixolydien
4
9
9
4
9
9
9

http://mathemusic.free.fr/Mathemusic.pdf (Carine PASCAL, Nathalie TOMAS)

Seul deux modes sont couramment pratiqués : la gamme de do majeur qui est le mode lydien, et la gamme de la mineur qui est le mode hypodorien.

La note initiale s'appel la tonique et est choisie arbitrairement. Elle n'est pas forcement jouer en premier. Ils se peut même qu'elle ne soit pas jouée du tout. La flèche du temps invoquée précédemment n'est pas nécessaire. Il suffit d'invoquer une relation de préséance logique : la tonique est la note d'origine à partir de la quel ont construit les autres notes et qui se définie comme première note de la gamme, et non d'invoquer une relation de préséance temporelle : La détermination de la tonique nous oblige à choisir un des 7 modes correspondant aux 7 permutations circulaires possibles des subdivisions de l'octave.

Le raisonnement s'applique pour une gamme constituée d'un nombre quelconque de quintes. Dans le cas d'une succession de N quintes, il existe N+1 modes. Le premier mode correspond à N quintes (la tonique est placé au début de la première quinte), le second mode correspond à 1 quarte et N-1 quintes (la tonique est placé au début de la seconde quinte), le troisième mode correspond à 2 quartes et N-2 quintes, et ainsi de suite. Voici le tableau des gammes avec des exemples transposés de tel sorte qu'ils soient inclus dans la gamme de do majeur pythagoricien [do, ré, mi, fa, sol, la, si] définie au début :

Place de la tonique
Exemple
Subdivision de l'octave
Nom de gamme ou de mode
0
do, sol, do
31, 22
1
do, fa, do
22, 31
 
0
do, ré, sol, do
9, 22, 22
1
do, fa, sol, do
22, 9, 22
2
ré, sol, do, ré
22, 22, 9
 
0
do, ré, sol, la, do
9, 22, 9, 13
1
do, ré, fa, sol, do
9, 13, 9, 22
2
ré, sol, la, do, ré
22, 9, 13, 9
3
ré, fa, sol, do, ré
13, 9, 22, 9
 
0
fa, sol, la, do, ré, fa
9, 9, 13, 9, 13
Gamme pentatonique
dite "chinoise"
1
do, ré, fa, sol, la, do
9, 13, 9, 9, 13
2
ré, mi, sol, la, do, ré
9, 13, 9, 13, 9
3
ré, fa, sol, la, do, ré
13, 9, 9, 13, 9
4
la, do, ré, fa, sol, la
13, 9, 13, 9, 9
 
0
do, ré, mi, sol, la, si, do
9, 9, 13, 9, 9, 4
1
do, ré, mi, fa, sol, la, do
9, 13, 9, 9, 4, 9
2
ré, mi, sol, la, si, do, ré
9, 13, 9, 9, 4, 9
3
ré, mi, fa, sol, la, do, ré
9, 4, 9, 9, 13, 9
4
la, do, ré, mi, fa, sol, la
13, 9, 9, 4, 9, 9
5
mi, fa, sol, la, do, ré, mi
4, 9, 9, 13, 9, 9
 
0
fa, sol, la, si, do, ré, mi, fa
9, 9, 9, 4, 9, 9, 4
Hypolydien
1
do, ré, mi, fa, sol, la, si, do
9, 9, 4, 9, 9, 9, 4
Lydien
2
sol, la, si, do, ré, mi, fa, sol
9, 9, 4, 9, 9, 4, 9
Hypophrygien
3
ré, mi, fa, sol, la, si, do, ré
9, 4, 9, 9, 9, 4, 9
phrygien
4
la, si, do, ré, mi, fa, sol, la
9, 4, 9, 9, 4, 9, 9
hypodorien
5
mi, fa, sol, la, si, do, ré, mi
4, 9, 9, 9, 4, 9, 9
dorien
6
si, do, ré, mi, fa, sol, la, si
4, 9, 9, 4, 9, 9, 9
mixolydien

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Considérons la successions des 6 quintes originelles qui ont servi à la construction de la gamme de do majeur pythagoricien : fa, do, sol, ré, la, mi, si. ajoutons encore une quinte. Nous trouvons une note proche du fa, que nous allons arbitrairement appeler fa#, et répéter l'opération de même pour les notes suivantes, et ainsi de suite. Toutes les notes s'alignent sur la ligne des quintes :

….labb, mibb, sibb, fab, dob, solb, b, lab, mib, sib, fa, do, sol, , la, mi, si, fa#, do#, sol#, #, la#, mi#, si#, fa##, do##, sol##….

 Quartes <--                                                                                                                                                                                  --> Quintes

Le dièse correspond à 7 quintes modulo l'octave. Le bémol correspond à 7 quartes modulo l'octave.

Dièse et bémol pythagoricien :

Signe
Nom
Intervalle
53ième
#
dièse
7 quintes modulo l'octave
+ 1 apotome
3^7 / 2^11
2187 / 1048
+ 5
b
bémol
7 quarte modulo l'octave
- 1 apotome
2^11 / 3^7
2048 / 2187
- 5

 

Correspondance exacte entre la gamme de Mercator à 53 degrés et la gamme du do majeur pythagoricien :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
do si# la### mibbb b do# si## fabbb mibb do## si### fabb mib do### solbbb fab

18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
mi ## do#### solbb fa mi# ### labbb solb fa mi## ### labb sol fa## mi### sibbb lab

36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
sol# fa## dobbb sibb la sol## fa#### dobb sib la# sol### bbb dob si la## sol#### bb

 

Expression exacte des 7 modes grecs dans la gamme du do majeur, en prenant do comme tonique :

fa
Hypolydien
do
mi
fa#
sol
la
si
do
do
Lydien
do
mi
fa
sol
la
si
do
sol
Hypophrygien
do
mi
fa
sol
la
sib
do
phrygien
do
mib
fa
sol
la
sib
do
la
hypodorien
do
mib
fa
sol
lab
sib
do
mi
dorien
do
b
mib
fa
sol
lab
sib
do
si
mixolydien
do
b
mib
fa
solb
lab
sib
do

 
http://perso.wanadoo.fr/wronecki/frederic/musique/7-degres.htm (F . Wronecki)
http://irem.campus.univ-poitiers.fr/apmep/conferen/c041202/gammes_modes_temperaments.pdf ( J. Chayé)

http://irem.campus.univ-poitiers.fr/apmep/conferen/c041202/annexes_gammes_modes_temperaments.pdf (J . Chayé)


13. La gamme naturelle (Zarlino)

La gamme naturelle dite gamme du physicien et aussi appelée gamme de Zarlino, s'obtient à partir des 6 premiers harmoniques [1, 2, 3, 4, 5, 6] qui correspondent exactement aux notes [do1, do2, sol2, do3, mi3, sol3]. Les 6 premiers harmoniques du do ramenés à l'octave constituent l'accord parfait majeur do, mi, sol, qui correspondent aux harmonique 4, 5, 6, et sert de base à la construction de la gamme naturelle.

Subdivision
5/4
6/5
6/5 5/4
Note
do
mi
sol
mi
sol si
Intervalle
1
5/4
3/2
5/4
3/2 15/8
Harmonique
4
5
6
10
12 15


Subdivision
en 53ième
17
14
14 17
Note
do
mi
sol
mi
sol si
Intervalle
en 53ième
0
17
31
17
31 48

Cette accord est constituée de deux intervalles, la tierce majeur (5/4) et la tierce mineur (6/5), qui subdivisent la quinte (3/2), et que l'on désignent parfois par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 17 et 14 (plus précisément par 17,062 et 13,940). Pour les même raisons d'invariance des règles d'harmonie par transposition, nous somme amenés à considérer les permutations circulaires de cette subdivision de la quinte. Il existe deux modes correspondants à l'ordre de la subdivision, le mode majeur et le mode mineur, correspondant à deux accords : l'accord parfait majeur (exemple : do-mi-sol), et l'accord parfait mineur (exemple : mi-sol-si). Les harmoniques 4, 5, 6, forment un accord parfait majeur. Les harmoniques 10, 12 et 15 forment un accord parfait mineur.

La gamme de Zarlino est construite par des accords parfaits majeurs successifs. Nous procédons de la même façon que pour la gamme pythagoricienne, mais en utilisant l'accord parfait majeur au lieu de la quinte :

5/4
6/5
5/4
6/5
5/4
6/5
fa1
la1
do2
mi2
sol2
si2
ré3
2/3
5/6
1
5/4
3/2
15/8
9/8

Ce qui donnent modulo l'octave :

do
mi
fa
sol
la
si
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8

http://asso.nordnet.fr/ccsti/concoursiufm02/candidat8/p1.htm
http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_techni/gammes/gammes.htm

Une succession de 3 accords parfaits majeurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 9/8, 10/9, 16/15] à une permutation circulaire près. C 'est la gamme naturelle. Elle contient trois types d'intervalle, le ton (9/8), le ton mineur (10/9), et le semiton majeur (16/15) que l'on désignent parfois par leurs valeurs approximatives en 53ième d'octave, respectivement par 9, 8 et 5.

Et une succession de 3 accords parfaits mineurs, ramenée dans l'octave, subdivise l'octave en 7 intervalles consécutifs : [9/8, 10/9, 9/8, 16/15, 10/9, 9/8, 16/15] à une permutation circulaire près.

Si nous fixons une tonique (la note initiale de la gamme), il existe 7 modes correspondant aux 7 permutations des subdivisions de l'octave pour une succession de 3 accords parfaits majeurs, qui correspondent à la proportion de tierces avant et après la tonique, c'est à dire, à la position de la tonique dans la succession de tierces des 3 accords parfaits majeurs originelles.

C'est 7 possibilités s'apparentent aux 7 modes grecs primitifs. Et on les désigne parfois par la première note de leur expression incluse dans la gamme de do majeur zarlinienne (mode lydien) :

Tonique
Place de la tonique dans la succession de tierce des 3 accords parfaits majeurs
Mode naturel majeur
1
2
3
4
5
6
7
fa
0
hypolydien
9
8
9
5
9
8
5
la
1
hypodorien
9
5
9
8
5
9
8
do
2
lydien
9
8
5
9
8
9
5
mi
3
dorien
5
9
8
9
5
9
8
sol
4
hypophrygien
8
9
5
9
8
5
9
si
5
mixolydien
5
9
8
5
9
8
9
6
phrygien
8
5
9
8
9
5
9

Et il existe 7 autres modes correspondant aux 7 permutations des subdivisions de l'octave pour une succession de 3 accords parfaits mineurs, qui correspondent à la proportion de tierces avant et après la tonique, c'est à dire, à la position de la tonique dans la succession de tierces des 3 accords parfaits mineurs originelles :

Place de la tonique dans la succession de tierce des 3 accords parfaits mineurs
Mode naturel mineurs
1
2
3
4
5
6
7
0
phrygien
9
5
9
8
9
5
8
1
hypolydien
9
8
9
5
8
9
5
2
hypodorien
9
5
8
9
5
9
8
3
lydien
8
9
5
9
8
9
5
4
dorien
5
9
8
9
5
8
9
5
hypophrygien
8
9
5
8
9
5
9
6
mixolydien
5
8
9
5
9
8
9

La gamme de do majeur Zarlinienne correspond au mode naturel majeur lydien :

Note ()
Do
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
x
0
-3
-2
2
-1
0
-3
1
y
0
2
0
-1
1
-1
1
0
z
0
0
1
0
0
1
1
0
Intervalle
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2
Savart
0
51,15
96,91
124,94
176,09
221,85
273,00
301,03
53ième
0
9,01
17,06
22,00
31,00
39,06
48,07
53,00

Considérons l'ensemble des intervalles obtenus par combinaisons de tierces majeurs (5/4), de tierces mineurs (6/5) et d'octaves. Ils sont de la forme (). Si nous souhaitons les ramener dans l'octave, il suffit de poser x = - floor((3*ln(y)+5*ln(z))/ln(2)). Les notes ((3/5)^x * 5^y) = 3^x * 5^(y-x), modulo l'octave, forme le tableau des tierces. Les valeurs approximatives en 53ième d'octave nous donne l'ordre de grandeur de la note. On passe à une ligne au dessus en ajoutant 17 modulo 53, et on passe à une colonne à droite en ajoutant 14 modulo 53. La rose des vents indique les intervalles exactes franchis lorsque l'on se déplace d'une case dans le tableau.

mi#
20
sol#
34
si
48

9
do#
3
mi
17
sol
31
sib
45
la
39
do
0
mib
14
solb
28
fa
22
lab
36
dob
50

mibb
11

Le dièse zarlinien est défini comme une tierce majeur moins une tierce mineur. Le bémol zarlinien est défini à l'inverse comme une tierce mineur moins une tierce majeur.

dièse et bémol de Zarlino :

Signe
Nom
Intervalle
53ième
#
Dièse de Zarlino
Tierce majeur moins tierce mineur modulo l'octave
+ 1 semiton mineur
25/24
+3,12
b
Bémol de Zarlino
Tierce mineur moins tierce majeur modulo l'octave
-1 semiton mineur
24/25
-3,12

Considérons la successions de 3 accords parfaits majeurs suivants [fa, la, do, mi, sol, si, ré]. Si nous continuons cette succession d'accords au delà du ré, alors nous découvrons une série suivante de note proche de [fa, la, do, mi, sol, si, ré]. L'intervalle qui sépare les " mêmes " notes de deux de ces séries consécutives est de 3 quintes + 1 tierce majeur (modulo l'octave) pour les notes [fa, do, sol, ré], et est de 3 quintes + 1 tierce mineur (modulo l'octave) pour les notes [la, mi, si].


3 quintes + 1 tierce mineur modulo l'octave vaut un comma syntonique (81/80).


Nous adoptons la notation du mini-dièse et du mini-bémol pour signifier l'ajout ou le retrait d'un comma syntonique.

mini-dièse et mini-bémol :

Signe
Nom
Intervalle
53ième
+
Mini dièse de Zarlino
3 quintes + 1 tierce mineur
+ 1 comma syntonique
81/80
+0,95
-
Mini bémol de Zarlino
3 quartes - 1 tierce mineur
-1 comma syntonique
80/81
-0,95


Nous pouvons compléter de façon exacte une ligne des tierces majeurs-mineurs alternée :

fa-
lab-
do-
mib-
sol-
sib-
ré-
fa
la
do
mi
sol
si
fa#+
la+
do#+
mi+
sol#+
si+
ré#+
21
35
52
13
30
44
8
22
39
0
17
31
48
9
26
40
4
18
35
49
13

 

 

Si on étend le tableau des tierces, on découvre les nouvelles notes correspondantes aux accords parfaits au dela du et en deçà du fa précédemment définies :

mi###
26
sol###
40
si##
1
ré##
15
fa##+
29
la#+
43
do#+
4
mi+
18
do###
9
mi##
23
sol##
37
si#
51
ré#
12
fa#+
26
la+
40
do+
1
la##
45
do##
6
mi#
20
sol#
34
si
48

9
fa+
23
lab+
37
fa##
28
la#
42
do#
3
mi
17
sol
31
sib
45
b
6
fab+
20
ré#-
11
fa#
25
la
39
do
3
mib
14
solb
28
sibb
42
bb
3
si-
47
-
8
fa
22
lab
36
dob
50
mibb
11
solbb
25
sibbb
39
sol-
30
sib-
44
b-
5
fab
19
labb
33
dobb
47
mibbb
8
solbbb
22
mib-
13
solb-
27
sibb-
41
bb-
2
fabb
16
labbb
30
dobbb
44
mibbbb
5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notez que l'intervalle [b, do##] vaut exactement un kleisma = 15625/15552 = 5^6.3^(-5).2^(-6) = ~ 0,358 53ième d'octave.

 

Expression exacte des 7 modes naturelles majeurs dans la gamme du do majeur de zarlino, en prenant do comme tonique :

fa
hypolydien
do
mi
fa#+
sol
la+
si
do
la
hypodorien
do
mib
fa+
sol
lab
sib
do
do
lydien
do
mi
fa
sol
la
si
do
mi
dorien
do
b-
mib
fa
sol
lab
sib
do
sol
hypophrygien
do
ré-
mi
fa
sol
la
sib-
do
si
mixolydien
do
b-
mib
fa
solb-
lab
sib-
do
phrygien
do
mib-
fa
sol-
la
sib-
do

 

 

 

 

 

Expression exacte des 7 modes naturelles mineurs dans la gamme du do majeur de zarlino, en prenant do comme tonique :

phrygien
do
mib
fa+
sol
la+
sib
do
hypolydien
do
mi
fa#+
sol
la
si
do
hypodorien
do
mib
fa
sol
lab
sib
do
lydien
do
ré-
mi
fa
sol
la
si
do
dorien
do
b-
mib
fa
sol
lab
sib-
do
hypophrygien
do
-
mi
fa
sol-
la
sib-
do
mixolydien
do
b-
mib-
fa
solb-
lab
sib-
do

 

 

 

 

 

Le raisonnement s'applique pour une gamme constituée à partir d'un nombre quelconque de tierces alternés majeurs-mineurs consécutives. Dans le cas d'une succession de N tierces, il existe (N+1) modes, correspondant à la place de la tonique dans la suite des N tierces alternées Voici le tableau des gammes avec des exemples transposés de tel sorte qu'ils soient inclus dans la gamme de do majeur de zarlino[do, ré, mi, fa, sol, la, si] :

Place de la tonique
Exemple
Subdivision de l'octave
0
do, mi, do
17, 36
1
36, 17
   
0
do, mi, sol, do
17, 14, 22
1
14, 22, 17
2
22, 17, 14
   
0
do, mi, sol , si, do
17, 14, 17, 5
1
14, 17, 5, 17
2
17, 5, 17, 14
3
5, 17, 14, 17
   
0
do, ré, mi, sol, si, do
9, 8, 14, 17, 5
1
14, 17, 5, 9, 8
2
17, 5, 9, 8, 14
3
5, 9, 8, 14, 17
4
8, 14, 17, 5, 9
   
0
fa, sol, la, si, do, mi, fa
9, 8, 9, 5, 17, 5
1
9, 5, 17, 5, 9, 8
2
17, 5, 9, 8, 9, 5
3
5, 9, 8, 9, 5, 17
4
8, 9, 5, 17, 5, 9
5
5, 17, 5, 9, 8, 9
   
6
fa, sol, la, si, do, ré, mi, fa
9, 8, 9, 5, 9, 8, 5
5
9, 5, 9, 8, 5, 9, 8
4
9, 8, 5, 9, 8, 9, 5
3
5, 9, 8, 9, 5, 9, 8
2
8, 9, 5, 9, 8, 5, 9
1
5, 9, 8, 5, 9, 8, 9
0
8, 5, 9, 8, 9, 5, 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Des Gammes personnalisée à l'octave

On peut définir une gamme par un ensemble d'intervalles {i1, i2, i3…}constituant une contrainte de base : C'est à dire, si T est la première note de la gamme appelé tonique, les note {T*i1,T*i2, T*i3 …} doivent figurer dans la gamme ainsi que leur transposition à l'octave {T*i1*2^n, T*i2*2^n, T*i3*2^n …}.

Deux gammes sont équivalente si et seulement si on peut passer de l'une à l'autre par transposition. On parlera de modes différents pour des gammes équivalentes.

Soit une gamme{i1, i2, i3…}. L'ensemble des gammes équivalentes est {{1/ i1, i2/ i1, i3/ i1…},
{ i1/ i2, 1/ i2, i3/ i2…}, { i1/ i3, i2/ i3, 1/ i3…}…}. Donc pour une gamme engendrée par n intervalles, il y a au plus n+1 modes.

La gamme pythagoricienne est engendrée par {3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6}. Et les 7 modes sont :

fa hypolydien 3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6
do lydien 3^(-1), 3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5
sol hypophrygien 3^(-2),3^(-1), 3, 3^2, 3^3, 3^4
phrygien 3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3, 3^2, 3^3
la hypodorien 3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3, 3^2
mi dorien 3^(-5),3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1), 3
si mixolydien 3^(-6),3^(-5),3^(-4),3^(-3),3^(-2),3^(-1)

 

 

 

 

 

La gamme majeur de Zarlino est engendrée par {3, 3^2, 3^3, 5, 5*3, 5*3^2}. Et les 7 modes sont :

fa hypolydien 3, 3^2, 3^3, 5, 3*5, 3^2*5
do lydien 3^(-1), 3, 3^2, 3^(-1)*5, 5, 3*5
sol hypophrygien 3^(-1), 3^(-2), 3, 3^(-2)*5, 3^(-1)*5, 5
phrygien 3^(-2), 3^(-1), 3^(-3), 3^(-3)*5, 3^(-2)*5, 3^(-1)*5
la hypodorien 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^3*5^(-1), 5^(-1), 3, 3^2
mi dorien 5^(-1), 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^(-1), 3^(-1)*5^(-1), 3
si mixolydien 3^(-1)*5^(-1), 5^(-1), 3*5^(-1), 3^(-2), 3^(-1), 3^(-2)*5^(-1)

 

 

 

 

 

On représente les intervalles par des points dont les coordonnées sont les puissances des nombres premiers de 3 et 5 (puissance de 3 en abscisse, puissance de 5 en ordonnée ). Les gammes qui sont définies à partire d'une liste d'intervalles peuvent être représentées par une figure géométrique. Voici les modes de la gammes majeur de Zarlino

Ces modes correspondent aux libertés de mouvement de chaque note : Par exemple, le la est libre de passer à une note de fréquence 3*5^(-1), 3^2*5^(-1), 3^3*5^(-1), 5^(-1), 3, 3^2 fois supérieurs. C'est à dire, il lui est autorisé de passer 0,1 ou 2 quintes combiné avec 0 ou 1 sixte mineur, ou de passer 3 quintes combinés avec une sixte mineur, tout en restant dans la gamme.

16. Evaluation de la consonance
Le célèbre mathématicien suisse, Leonhard Euler (Bâle, 1707 - Saint-Pétersbourg, 1783), décriva en 1731, dans son Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae, une évaluation de la dissonance basé sur l'étude des vibrations et de la coïncidence des coups, et sur des appréciations philosophiques diverses.

Il décompose l'intervalle K en produit de puissance entière de nombre premier (pour l'exemple, on se limite à 3 termes) :

k1, k2, k3 sont des entiers relatifs et p1, p2, p3 sont des nombres premiers. Et il applique la fonction suivante :

qui donne une évaluation de la dissonance des deux sons (1, K), ou ce qui revient au même, de deux sons quelconques séparés d'un intervalle K. Euler ajoute 1 à cette expression pour que l'unisson corresponde à son premier degrés de douceur. L'étude de la coïncidence des coups, l'amène à poser la dissonance d'un accord (1, p/q , r/s, u/v …)(p,q), (r,s), (u,v)... sont des couples de nombres premiers entre eux, égale à la dissonance de l'intervalle PPCM(p,r,u…) * PPCM(q,s,v…)

On peut remarquer comme Yves Hellegouarch que la fonction :

p1, p2, p3 ... est la suite des nombres premiers et f une fonction arbitraire, une fois restreinte à N* , est l'unique morphisme du monoïde (N*, *) dans (N,+) qui respecte les nombres premiers selon f, c'est-à-dire la seul fonction de N* vers N tel que :


lorsque p est premier.


" Mais, étant donné la manière empirique dont Euler construit cette fonction, il semble extrêmement peu probable qu'il ait été parfaitement conscient de l'unicité de sa solution. Et Hellegouarch, à nouveau, n'a pas tort de dire que "beaucoup d'autres fonctions pourraient être proposées". " (P. Bailhache).

http://www.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/documents/helle.PDF (Y.Hellegouarch)

Selon le critère de dissonance d'Euler, les intervalles se rangent par degrés de douceur comme suit (les consonances fondamentales sont en caractère gras et les traditionnelles dissonances sont soulignées) d'après P. Bailhache :

Degré de douceur
Intervalles
1
1
2
2
3
3, 4
4
6, 3/2, 8
5
5, 9, 12, 4/3, 16
6
10, 5/2, 18, 9/2, 24, 8/3, 32
7
7, 15, 5/3, 20, 5/4, 27, 36, 9/4, 48, 16/3, 64
8
14, 7/2, 30, 15/2, 10/3, 6/5, 40, 8/5, 54, 27/2, 72, 9/8, 96, 32/3, 128
9
21, 7/3, 25, 28, 7/4, 45, 9/5, 60, 20/3, 15/4, 12/5, 80, 16/5, 81, 108, 27/4, 144, 16/9, 192, 64/3, 256
10
42, 14/3, 7/6, 50, 25/2, 56, 8/7, 90, 45, 18/5, 10/9, 120, 40/3, 24/5, 15/8, 160, 32/5, 162, 81/2, 216, 27/8, 288, 32/9, 384, 128/3, 512

 

Le classement des accords fondamentaux selon Euler est donc :

Degré de douceur
Nom de l'intervalle
Intervalle
2
Octave
2
4
Quinte
3/2
5
Quarte
4/3
7
Sixte majeur
5/3
7
Tierce majeur
5/4
8
Tierce mineur
6/5
8
Sixte mineur
8/5
8
Ton majeur
9/8
9
Septième mineure juste
9/5
9
Septième mineure de Pythagore
16/9
10
Ton mineur
10/9
10
Septième majeure classique
15/8

 


17. Différente façon d'évaluer la consonance :
Soit une fonction D(x,y) qui définie la dissonance entre deux sons x et y dans (Q*,*). Cette fonction est symétrique : D(x,y) = D(y,x), vaut zéro pour l'unisson : D(x,x) = 0, et respecte la transposition puisque l'harmonie est invariante par transposition : D(x,y) = D(1,y/x ) = D(1,x/y). Elle représente une distance (en notation multiplicative) : D(x,z) <= D(x,y) + D(y,z) et D(x^n) = n*D(x) pour n entier positif. Une tel fonction se ramène à une norme |u| = D(1,u) sur (Q*,*) vérifiant les conditions suivante, et dont le sens intuitif de |x/y| est d'évaluer la dissonance entre deux sons x et y.

| | est une fonction de Q* dans R.
|1| = 0
|u| = |1/u|

|u^n| = n*|u|

Il existe beaucoup de tel norme possible. Euler propose :

pi sont des nombres premiers et ki des entiers relatifs. Hellegouarche propose le logarithme de la plus grande valeurs entre le quotient et le numérateur d'une fraction simplifiée :

|u/v| = ln(sup(u,v))

u et v sont deux entiers premier entre eux. Il propose les normes p-adiques :

| p^k * u/v |p = |k|

p est un nombre premier ne divisant pas ni u ni v, et k un entier relatif.


La dissonance d'un intervalle 2^k et d'un intervalle 3^k est de nature différente, de même que celle d'un intervalle p^k. Aussi les normes p-adiques, que l'on notera ||p signifiant une relativité au seul facteur du nombre premier p (||p est une norme unique à un facteur près sur (Q*,*)), sont amenés à jouer un rôle majeur.

La dissonance entre deux sons très proches en fréquence l'un de l'autre tient dans la propension de l'oreille à adapter l'un à l'autre en jouant soit sur l'incertitude des fréquences, soit sur une capacité à ignorer et enlever les battements occasionnés par ces deux sons très proche en fréquences.

Une pseudo-norme | | sur (Q*,*) est caractérisée par les 4 axiomes suivants :

| | est une fonction de Q* dans R.
|1| = 0
|u| = |1/u|

(On à enlevé l'axiome |u^n| = n*|u| jugé trop contraignant et non justifié pour définir la dissonance.)


18. Observations :
Considérons la gamme mineur harmonique en utilisant une échelle tempérée, avec une note supplémentaire. Nous numérotons les notes de 1 à 8 :

1
2
3
4
5
6
7
8
1
la
si
do
mi
fa
sol
sol#
la
9
4
9
9
4
9
4
4

 

L'écoute de cette gamme choque l'oreille sur la note 7. Si on augmente cette note d'un commas, la gamme paraît plus harmonieuse.

 

1
2
3
4
5
6
7
8
1
la
si
do
mi
fa
sol+
sol#
la
9
4
9
9
4
10
3
4

 




Dominique Mabboux-Stromberg

 

http://mabboux.pagesperso-orange.fr/